2의 보수(Two’s Complement) 정리

1. 개요

2의 보수(Two’s Complement)는 컴퓨터에서 부호 있는 정수 표현 방식 중 가장 널리 사용되는 방식입니다.
이진수에서 음수를 표현하는 방법으로, 모든 비트를 반전(1의 보수)한 후, 1을 더하는 방식을 사용합니다.

✅ 2의 보수의 핵심 특징

• 0이 하나만 존재 (0000 0000 → 0)
• 음수 표현 시 간단한 연산 가능
• 덧셈과 뺄셈을 동일한 연산으로 수행 가능

➡ 2의 보수는 컴퓨터에서 음수를 표현하고 연산하는 가장 효율적인 방법입니다.

---

2. 2의 보수 변환 방법

2의 보수를 계산하는 방법은 다음과 같습니다.

✅ 2의 보수 변환 과정

1. 1의 보수(비트 반전) 취하기
2. 1을 더하기

✅ 예제 (4비트 표현)

+5 (십진수) → 0101 (이진수)
1의 보수    → 1010
2의 보수    → 1011 (-5) (2의 보수를 취하면 음수 5)

-3 (십진수) → 0011 (3의 이진수, 원래 부호 없음, 양수)
1의 보수    → 1100
2의 보수    → 1101 (-3) (-3을 2의 보수를 통해 이진수로 표기)

➡ 2의 보수를 사용하면 간단한 연산만으로 부호 변환이 가능함

n비트 2의 보수 표현 범위

• 최솟값: -2^{n-1}
• 최댓값: 2^{n-1} - 1
  예: 4비트 → -8 ~ +7

---

3. 2의 보수를 이용한 덧셈과 뺄셈

✅ 덧셈 예제: 4비트 시스템에서

  0011   (+3)
+ 1101   (-3)
--------
  0000   (0)

✅ (+5) + (-2)

  0101   (+5)
+ 1110   (-2)
--------
  0011   (+3)

➡ 자리올림수 처리 없이 바로 결과 도출 가능

✅ 뺄셈 예제: 6 - 3

  0110   (+6)
- 0011   (+3)
--------
  0110   (+6)
+ 1101   (-3의 2의 보수)
--------
  0011   (+3)

➡ 2의 보수를 이용하면 뺄셈이 덧셈으로 변환됨

✅ 예외 사례: -8 + (-1) 연산

  1000   (-8)
+ 1111   (-1)
--------
  0111   (+7) → 오버플로우 발생

➡ 최소값을 벗어나는 연산은 항상 오버플로우 발생

---

4. 오버플로우 감지 회로 구현

✅ 자리올림수 비교

• Overflow = MSB 자리올림수 입력 ⊕ MSB 자리올림수 출력
• 하드웨어 수준에서 오버플로우를 감지하는 방법

예제: 4비트 7 + 3 연산

  0111   (+7)
+ 0011   (+3)
--------
  1010   (-6) → 오버플로우 발생 (자리올림수 입력 ≠ 자리올림수 출력)

✅ 오버플로우 감지 회로

➡ Overflow = Carry-in ⊕ Carry-out

✅ 프로그래밍 언어별 오버플로우 처리

언어	핵심 동작
C/C++	-fwrapv로 래핑 강제
Python	자동 정수 확장
Java	모든 정수 연산에서 2의 보수 래핑 강제
JavaScript	64비트 부동소수점으로 자동 변환
Rust	overflowing_add()로 명시적 처리

---

5. 부호 확장 vs 제로 확장

✅ 확장 예시

• 4비트 1011(-5) → 8비트:
  • 부호 확장: 1111 1011 (-5 유지)
  • 제로 확장: 0000 1011 (+11로 변환)

유형	4비트 1011 → 8비트	목적
부호 확장	1111 1011	음수 유지
제로 확장	0000 1011	양수 변환

---

6. 2의 보수 표준화 과정

• 1949년 EDSAC: 최초 채택
• 1954년 IBM 704: 상용 시스템 최초 표준화
• 1980년대 x86 아키텍처: 현대 CPU 표준 방식 확립

➡ 2의 보수는 하드웨어 최적화 및 연산 효율성에서 중요한 역할을 합니다.

---

7. 1의 보수 vs 2의 보수 심층 비교

항목	1의 보수	2의 보수
0 표현	+0/-0 존재	단일 0
하드웨어 복잡도	높음 (Carry 보정 필요)	낮음 (직접 연산 가능)
최소값 (4비트)	-7	-8

---

8. 결론

2의 보수는 현대 컴퓨터 시스템에서 표준적인 부호 있는 정수 표현 방식으로,
덧셈과 뺄셈을 동일한 방식으로 수행할 수 있으며, 오버플로우 처리가 필요하지만 효율적임.

➡ 2의 보수는 현재 모든 컴퓨터에서 사용되는 가장 효율적인 음수 표현 방법! 🚀

 

 

추가: 현대 CPU는 2의 보수로 변환할 때 우측에서 좌측으로 검색을해 첫번째 1을 발견하면 발견한 1의 좌측 비트들에 반전을 취해서 인버터 연산을 줄여서 더 효율적으로 변환한다. 결국 1의 보수보다 변환도 빠르다.