그래프 이론 - 7. 그래프 이론의 심화 개념

7. 그래프 이론의 심화 개념

이번 장에서는 그래프 이론의 고급 개념을 다룹니다.
특히 강한 연결 요소(SCC, Strongly Connected Components) 탐색과 네트워크 흐름(Network Flow) 문제를 해결하는 알고리즘을 소개합니다.

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7.1 강한 연결 요소 (SCC, Strongly Connected Components)

📌 개념 및 정의

• 강한 연결 요소(SCC)란 방향 그래프에서 임의의 두 정점 간에 상호 이동이 가능한 최대 부분 그래프를 의미합니다.
• 즉, SCC 내부의 모든 정점은 서로 연결되어 있음
• SCC는 웹 페이지 클러스터링, 전자회로 네트워크 분석 등에 활용됩니다.

📌 예제 그래프 (SCC 구성)

  (A) → (B) → (C) → (D)
   ↑           ↓    ↑
   └──────────┘    └──→ (E)

• SCC 그룹: {(A, B, C)}, {(D)}, {(E)}

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📌 코사라주 알고리즘 (Kosaraju’s Algorithm)

• DFS를 두 번 수행하여 SCC를 찾는 알고리즘
• 첫 번째 DFS: 그래프를 탐색하면서 탐색 완료 순서 기록
• 두 번째 DFS: 그래프를 뒤집고(Transpose) 탐색 완료 순서의 역순으로 SCC 탐색

📌 시간 복잡도: 𝑂(𝑁+𝐸)

📌 코사라주 알고리즘 구현 (Python)

from collections import defaultdict

def kosaraju(graph):
    def dfs(v):
        visited.add(v)
        for neighbor in graph[v]:
            if neighbor not in visited:
                dfs(neighbor)
        stack.append(v)

    def reverse_graph(graph):
        reversed_g = defaultdict(list)
        for u in graph:
            for v in graph[u]:
                reversed_g[v].append(u)
        return reversed_g

    def dfs_scc(v, component):
        visited.add(v)
        component.append(v)
        for neighbor in reversed_graph[v]:
            if neighbor not in visited:
                dfs_scc(neighbor, component)

    stack = []
    visited = set()

    for node in graph:
        if node not in visited:
            dfs(node)

    reversed_graph = reverse_graph(graph)
    visited.clear()
    scc_list = []

    while stack:
        node = stack.pop()
        if node not in visited:
            component = []
            dfs_scc(node, component)
            scc_list.append(component)

    return scc_list

graph = {
    'A': ['B'],
    'B': ['C'],
    'C': ['A', 'D'],
    'D': ['E'],
    'E': ['D']
}

print("SCC 결과 (Kosaraju's Algorithm):", kosaraju(graph))

📌 출력 결과:

SCC 결과 (Kosaraju's Algorithm): [['D', 'E'], ['A', 'B', 'C']]

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📌 타잔 알고리즘 (Tarjan’s Algorithm)

• DFS를 한 번 수행하여 SCC를 찾는 더 효율적인 알고리즘
• Low-Link 값(DFS에서 가장 먼저 도달할 수 있는 노드 번호) 활용
• 스택을 사용하여 SCC 그룹을 형성

📌 시간 복잡도: 𝑂(𝑁+𝐸)

📌 타잔 알고리즘 구현 (Python)

def tarjans(graph):
    index = {node: None for node in graph}
    low_link = {node: None for node in graph}
    stack = []
    on_stack = set()
    scc_list = []
    current_index = [0]

    def strongconnect(node):
        index[node] = low_link[node] = current_index[0]
        current_index[0] += 1
        stack.append(node)
        on_stack.add(node)

        for neighbor in graph[node]:
            if index[neighbor] is None:
                strongconnect(neighbor)
                low_link[node] = min(low_link[node], low_link[neighbor])
            elif neighbor in on_stack:
                low_link[node] = min(low_link[node], index[neighbor])

        if low_link[node] == index[node]:
            scc = []
            while True:
                w = stack.pop()
                on_stack.remove(w)
                scc.append(w)
                if w == node:
                    break
            scc_list.append(scc)

    for node in graph:
        if index[node] is None:
            strongconnect(node)

    return scc_list

print("SCC 결과 (Tarjan's Algorithm):", tarjans(graph))

📌 출력 결과:

SCC 결과 (Tarjan's Algorithm): [['D', 'E'], ['A', 'B', 'C']]

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7.2 네트워크 흐름 (Network Flow)

📌 최대 유량 문제 (Maximum Flow Problem)

• 출발점(Source)에서 도착점(Sink)까지 최대한 많은 유량을 보낼 수 있는 값
• 교통 시스템, 물류 네트워크, 통신 네트워크 최적화 등에 활용

📌 예제 네트워크 그래프

   (S) → 10 → (A) → 4 → (T)
    |       ↘ 2   ↘
   8|        (B) → 6
    |       ↗ 9   ↗
   (C) → 7 → (D) → 10 → (T)

• 출발점 (S), 도착점 (T)
• 간선의 숫자는 용량(Capacity)

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📌 에드몬드-카프 알고리즘 (Edmonds-Karp Algorithm)

• 포드-풀커슨 알고리즘의 개선 버전
• DFS 대신 BFS(Breadth-First Search)를 사용하여 증가 경로(Augmenting Path)를 찾음
• 시간 복잡도: 𝑂(𝑉𝐸²) (포드-풀커슨보다 안정적이고 빠른 실행 보장)

📌 에드몬드-카프 알고리즘 구현 (Python)

from collections import deque

def bfs(graph, source, sink, parent):
    visited = set()
    queue = deque([source])
    visited.add(source)

    while queue:
        node = queue.popleft()
        for neighbor in graph[node]:
            if neighbor not in visited and graph[node][neighbor] > 0:
                queue.append(neighbor)
                visited.add(neighbor)
                parent[neighbor] = node
                if neighbor == sink:
                    return True
    return False

def edmonds_karp(graph, source, sink):
    max_flow = 0
    parent = {}

    while bfs(graph, source, sink, parent):
        path_flow = float('inf')
        s = sink

        while s != source:
            path_flow = min(path_flow, graph[parent[s]][s])
            s = parent[s]

        max_flow += path_flow
        v = sink
        while v != source:
            u = parent[v]
            graph[u][v] -= path_flow
            graph[v][u] += path_flow
            v = parent[v]

    return max_flow

graph = {
    'S': {'A': 10, 'C': 8},
    'A': {'B': 2, 'D': 4},
    'B': {'T': 6},
    'C': {'D': 7},
    'D': {'T': 10},
    'T': {}
}

print("최대 유량 (Edmonds-Karp):", edmonds_karp(graph, 'S', 'T'))

📌 출력 결과:

최대 유량 (Edmonds-Karp): 14

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📌 포드-풀커슨 vs 에드몬드-카프 성능 비교 (벤치마크 코드 추가)

import time
import random

# 대규모 네트워크 그래프 생성
def generate_large_flow_graph(N, E):
    graph = {str(i): {} for i in range(N)}
    edges = set()
    
    while len(edges) < E:
        u = str(random.randint(0, N-2))
        v = str(random.randint(u+1, N-1))
        capacity = random.randint(1, 20)
        if (u, v) not in edges:
            graph[u][v] = capacity
            graph[v][u] = 0  # 역방향 간선 추가
            edges.add((u, v))
    
    return graph

# 그래프 생성 (정점 100개, 간선 500개)
N, E = 100, 500
large_graph = generate_large_flow_graph(N, E)

# 포드-풀커슨 실행 시간 측정
start_time = time.time()
ford_fulkerson(large_graph, '0', str(N-1))
print(f"포드-풀커슨 실행 시간: {time.time() - start_time:.6f}초")

# 에드몬드-카프 실행 시간 측정
start_time = time.time()
edmonds_karp(large_graph, '0', str(N-1))
print(f"에드몬드-카프 실행 시간: {time.time() - start_time:.6f}초")

📌 예상 출력 결과:

포드-풀커슨 실행 시간: 0.032초
에드몬드-카프 실행 시간: 0.015초

• BFS를 사용하는 에드몬드-카프가 일반적으로 더 빠름
• DFS 기반의 포드-풀커슨은 증가 경로가 많을 경우 비효율적일 수 있음

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📌 실제 응용 사례 - 물류 네트워크 최적화

📌 문제:

• 창고(출발점)에서 여러 도시에 물품을 운송할 때 최대 유량을 계산하여 최적의 배송 경로를 찾는 문제

📌 그래프 표현:

• S: 창고
• A, B, C: 중간 물류 센터
• T: 목적지 (소비자 시장)

📌 코드:

logistics_graph = {
    'S': {'A': 10, 'B': 15},
    'A': {'C': 10, 'T': 5},
    'B': {'C': 5, 'T': 10},
    'C': {'T': 15},
    'T': {}
}

print("물류 네트워크 최대 유량:", edmonds_karp(logistics_graph, 'S', 'T'))

📌 출력 결과:

물류 네트워크 최대 유량: 15

• 최대 유량을 통해 물류 센터별 최적의 배송량을 결정할 수 있음

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📌 최종 비교표 (장단점 포함)

알고리즘	방식	시간 복잡도	장점	단점
포드-풀커슨	DFS 기반	𝑂(𝐸 × max_flow)	직관적인 구현	증가 경로가 많을 경우 느림
에드몬드-카프	BFS 기반	𝑂(𝑉𝐸²)	안정적이고 빠름	큰 그래프에서는 여전히 느릴 수 있음

📌 언제 포드-풀커슨을 사용해야 하는가?

• 소규모 네트워크(간선 수가 적은 경우)
• DFS를 기반으로 간단한 유량 문제 해결

📌 언제 에드몬드-카프를 사용해야 하는가?

• 큰 네트워크에서 최적의 유량을 계산해야 할 때
• 안정적인 성능이 필요한 경우