부동 소수점 - 3. 부동 소수점 표기법 (IEEE 754 표준 개념)

부동 소수점 표기법 (IEEE 754 표준 개념)

컴퓨터는 부동 소수점(Floating-Point)을 이용해 실수를 저장하며, 이를 표준화한 것이 IEEE 754입니다.
IEEE 754 표준은 부동 소수점 숫자를 부호(Sign), 지수(Exponent), 가수(Mantissa)로 나누어 표현합니다.

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1. IEEE 754 부동 소수점 구조

IEEE 754 표준에서는 32비트(단정밀도, Single Precision)와 64비트(배정밀도, Double Precision) 방식이 있습니다.
일반적으로 32비트 부동 소수점 구조는 다음과 같이 구성됩니다.

비트 수	구성 요소	설명
1비트	부호(Sign Bit)	숫자의 양수(0) 또는 음수(1)
8비트	지수(Exponent)	소수점을 어디에 위치시킬지 결정
23비트	가수(Mantissa, Fraction)	실제 숫자를 나타내는 부분

💡 부동 소수점 표현 방식:

즉, 부호(Sign)는 양수/음수를 결정하고,
지수(Exponent)는 2의 거듭제곱을 이용해 소수점 위치를 조절하며,
가수(Mantissa)는 숫자의 실제 값을 저장합니다.

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2. 부동 소수점 변환 과정 (예제: 10.75 변환)

IEEE 754 형식으로 10.75를 표현하는 방법을 단계별로 알아보겠습니다.

① 10진수를 2진수로 변환

10.75의 2진 표현을 찾습니다.

• 정수 부분: 10_{10} → 1010_{2}
• 소수 부분: 0.75_{10} → 0.11_{2}
  • (0.75 × 2 = 1.5 → 정수 1, 0.5 남음)
  • (0.5 × 2 = 1.0 → 정수 1, 끝)

따라서,

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② 정규화 (Normalization)

부동 소수점 표기에서는 1.XXXXX × 2^n 형태로 변환해야 합니다.

• 정규화된 형태에서 가수(Mantissa)는 01011 (앞의 1.은 생략)
• 지수(Exponent)는 3이므로, Bias 127을 더해 저장
  • 3 + 127 = 130
  • 130을 2진수로 변환하면 10000010_{2}

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③ IEEE 754 형식으로 저장

이제 IEEE 754 형식으로 변환된 값을 확인합니다.

부호(Sign, 1비트)	지수(Exponent, 8비트)	가수(Mantissa, 23비트)
0 (양수)	10000010 (130)	01011000000000000000000

즉, 최종적인 IEEE 754 단정밀도 표현 (32비트):

0 10000010 01011000000000000000000

• 부호: 0 (양수)
• 지수: 10000010 (130 = 127 + 3)
• 가수: 01011000000000000000000

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3. IEEE 754의 특징과 장점

✅ 소수점 위치를 유동적으로 조절하여 더 넓은 범위를 표현 가능
✅ 정수보다 더 작은 값과 매우 큰 값을 동시에 표현 가능
✅ 정규화(Normalization) 덕분에 저장 공간을 절약

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4. 정리

• IEEE 754 표준은 부동 소수점을 표현하는 방식이며, 부호, 지수, 가수로 구성된다.
• 지수는 Bias(127)를 더해 저장되며, 가수는 정규화 후 1.XXXXX 형태로 저장된다.
• 10.75는 1.01011 × 2³로 변환되며, 최종적으로 32비트 IEEE 754 형식으로 저장된다.